タイトルで釣ったわけではありませんが、実はこれには「とある条件」があります。「えーっ、そんな方法あるの？」と思う人もいれば、「自分ならできそう」と思う人もいるかと思います。
かなり読み応えのある内容なので、ぜひお茶でも飲みながら、休み休み最後まで付き合っていただけると嬉しいです。
そもそも日本では賭博は禁止されていますが、海外に目を向けると、カジノなどギャンブルが合法的に行われている国は少なくありません。今回は、そんな海外のギャンブルで「ほぼ負けない」とされる有名な手法を、数学の視点から大真面目に紹介します。
１．どのギャンブルで使う方法なのか？
今回紹介する方法が有効なのは、「当たれば賭け金が2倍になり、外れれば賭け金が没収される」タイプのゲームです。
つまり、確率 $\displaystyle \frac{1}{2}$ で賭け金が2倍になり、確率 $\displaystyle \frac{1}{2}$ でゼロになるような勝負であれば何でも構いません。
ただし、完全にこの条件を満たすギャンブルは現実にはほぼ存在しません。なぜなら、そんなゲームばかりだと胴元（カジノ側）が儲からず、期待値が0になって店が潰れてしまうからです。
※期待値の根本的な仕組みについては、別記事「ギャンブルの勝敗は「運」ではない？ 数学で読み解く『期待値』の残酷な真実」をぜひご覧ください。
しかし、現実のカジノにはこの条件に限りなく近い賭け方が存在します。
それが、ルーレットの「赤か黒か」に賭ける方法です。
ルーレットの基本的なルール
ルーレットは、ディーラー（胴元）が投げた球が「どの数字のポケットに入るか」を予想するゲームです。賭け方は色々ありますが、例えば以下のようなものがあります。
- ピンポイント予想（ストレートアップ）： 特定の数字（1〜36など）に1点賭けする。当たりにくいが、当たれば36倍。
- 赤か黒かを予想（カラー）： 赤のポケットは18箇所あり、比較的当たりやすい。リターンは2倍。
- 偶数か奇数かを予想（オッド・イーブン）： 赤黒の賭けと同じ構造。リターンは2倍。
今回は、確率・リターンともに条件に一番近い「赤か黒か」の賭けをベースにして話を進めます。
⚠️ 注意：厳密には期待値はわずかにマイナスです
ルーレットには「0」や「00」という緑色のポケットがあるため、赤か黒かに当たる確率は厳密には $\displaystyle \frac{1}{2}$ ではなく、$\displaystyle \frac{18}{38}$（約47.4%）です。
100円を賭けたときの1回あたりの期待値を計算すると、以下のようになります。
$$\displaystyle 100 \times \frac{18}{38} \times 2 – 100 \fallingdotseq -5.3 \text{円}$$
つまり、1回遊ぶごとに平均で5円強ずつ損をする計算です。これから紹介する方法は、この「微小なマイナス」を数学的なトリックで無視できるように見せるものですが、根本の期待値がマイナスである事実は変わらない点に注意してください。
２．賭け金倍々法（通称：マルチンゲール法）
やり方は非常にシンプルです。
「当たるまで、外れるたびに賭け金を2倍にして賭け続ける」
これだけです。そして、一度でも当たった時点でそのセットは終了（リセット）します。
具体的な流れを見てみましょう。最初の賭け金を100円とします。
- 1回目： 100円を賭ける $\rightarrow$ 【的中】 200円を受け取って終了！
- $\downarrow$ （外れたら）
- 2回目： 200円を賭ける $\rightarrow$ 【的中】 400円を受け取って終了！
- $\downarrow$ （外れたら）
- 3回目： 400円を賭ける $\rightarrow$ 【的中】 800円を受け取って終了！
- $\downarrow$ （外れたら）
- 4回目： 800円を賭ける $\rightarrow$ 【的中】 1,600円を受け取って終了！
以後、当たるまでこれを延々と繰り返していきます。
このときの儲け（純利益）は、次の計算式で求められます。
$$\displaystyle \text{（儲け額）} = \text{（払い戻された金額）} – \text{（それまでの賭け金の総額）}$$
具体的に計算してみる
本当に儲かるのか、何パターンか計算してみましょう。
- 1回目で当たって終了した場合
- 賭け金の総額：100円
- 払い戻し金額：200円
- 儲け：$\displaystyle 200 – 100 = 100\text{円}$
- 2回目で当たって終了した場合
- 賭け金の総額：$\displaystyle 100 + 200 = 300\text{円}$
- 払い戻し金額：400円
- 儲け：$\displaystyle 400 – 300 = 100\text{円}$
- 3回目で当たって終了した場合
- 賭け金の総額：$\displaystyle 100 + 200 + 400 = 700\text{円}$
- 払い戻し金額：800円
- 儲け：$\displaystyle 800 – 700 = 100\text{円}$
面白いことに、何回目で当たっても儲けは必ず最初の賭け金と同額（100円）になります。
「これなら絶対に負けないじゃないか！」と思いますよね。
これがいつでも、何回目でも本当に成り立つのか、高校数学の知識を使って一般化（証明）してみましょう。
３．本当に何回目でも儲かるのか？――数式で証明する
ここでは、高校数学Bで習う「等比数列」と「等比数列の和」の知識を使います。
3-1.$n$ 回目の賭け金を求める
最初の賭け金100円から、外れるたびに2を掛け続けていくので、$n$ 回目の賭け金は「初項100、公比2の等比数列の一般項」として表せます。
| 回数 | 2を掛けた回数 | n 回目の賭け金 |
| 1回目 | 0回 | $\displaystyle 100 \times 2^0 = 100\text{円}$ |
| 2回目 | 1回 | $\displaystyle 100 \times 2^1 = 200\text{円}$ |
| 3回目 | 2回 | $\displaystyle 100 \times 2^2 = 400\text{円}$ |
| $n$ 回目 | $n-1$ 回 | $\displaystyle 100 \times 2^{n-1}\text{円}$ |
3-2. $n$ 回目までの賭け金の総額を求める
1回目から $n$ 回目までに支払った賭け金の合計は、この等比数列の和になります。等比数列の和の公式を使ってまとめると、次のようになります。
$$\displaystyle \text{総額} = 100 + 100 \times 2^1 + 100 \times 2^2 + \dots + 100 \times 2^{n-1}$$
$$\displaystyle \text{総額} = \frac{100(2^n – 1)}{2 – 1} = 100 \times 2^n – 100 \text{（円）}$$
3-3. $n$ 回目の払い戻し金額
$n$ 回目でようやく当たったとき、返ってくる金額はその回の賭け金の2倍です。
$$\displaystyle \text{払い戻し} = (100 \times 2^{n-1}) \times 2 = 100 \times 2^n \text{（円）}$$
3-4. 儲け額の計算
さあ、準備は整いました。払い戻し金額から総額を引いてみましょう。
$$\displaystyle \text{儲け額} = \text{払い戻し} – \text{賭け金の総額}$$
$$\displaystyle \text{儲け額} = (100 \times 2^n) – (100 \times 2^n – 100)$$
$$\displaystyle \text{儲け額} = 100 \text{（円）}$$
$n$ がどんな数字（何回目）であっても、文字式 $\displaystyle 100 \times 2^n$ が綺麗に相殺されて、必ず100円の利益が残ることが数学的に証明されました。
４．では「必ず勝てる」のか？――現実に立ちはだかる2つの壁
数学的には完璧に思えるマルチンゲール法ですが、これを実際のカジノで実行しようとすると、次の2つの巨大な壁にぶつかります。
壁①：元手の資産が爆発的に尽きる（資金の限界）
負けが続くほど、次の賭け金は「指数関数的」に膨れ上がります。各回までに必要な軍資金と、そこまで連続で外れ続ける確率を一覧表にしてみました。
| 連敗数 | その回までに必要な資金の総額 | 連続で外れる確率（約） |
| 1回 | 100円 | $\displaystyle \frac{1}{2}$ |
| 2回 | 300円 | $\displaystyle \frac{1}{4}$ |
| 3回 | 700円 | $\displaystyle \frac{1}{8}$ |
| 4回 | 1,500円 | $\displaystyle \frac{1}{16}$ |
| 5回 | 3,100円 | $\displaystyle \frac{1}{32}$ |
| 10回 | 102,300円 | $\displaystyle \frac{1}{1,024}$ |
| 15回 | 3,276,700円 | $\displaystyle \frac{1}{32,768}$ |
| 20回 | 104,857,500円 | $\displaystyle \frac{1}{1,048,576}$ |
10連敗する確率は約1000分の1。一見「滅多に起きない」ように思えますが、もし運悪くこの1000分の1を引いてしまったら、たった100円の利益を得るために10万円以上のリスクを背負うことになります。
さらに20連敗する確率は約100万分の1。毎日10回ルーレットを回し続けても273年に1回遭遇するかどうかという確率ですが、もし起きてしまえば100円のために約1億円の軍資金が必要になります。個人の資産など一瞬で吹き飛んでしまいますね。
壁②：カジノの「テーブルリミット（上限額）」
実は、資金がほぼ無制限にあったとしても、こちらの壁のせいで絶対に破綻します。
カジノのテーブルには、必ず「1回あたりに賭けられる上限額（テーブルリミット）」が設定されています。
例えば、最小賭け金が100円で、上限額が10万円のテーブルだった場合、9連敗して10回目（次の賭け金：102,400円）に進もうとした時点で、上限オーバーとなり強制的にルールが破綻します。
カジノ側は、このテーブルリミットを設けることで、マルチンゲール法のような「倍々理論」が無限に通用しないよう、最初からシステム的に防御しているのです。
５．結論：リスクとリターンのバランスが最悪である
世界一の大富豪の資産が何十兆円あったとしても、この方法は割に合いません。計算上は30回以上耐えられる資金があったとしても、「何十兆円を失うリスクを背負って、得られるリターンが、最初の賭け金のたった100円」だからです。
このマルチンゲール法の本質は、次の一言に尽きます。
「損をする確率はほぼゼロに近い。しかし、万が一損をしたときの金額が壊滅的に大きい」
これはある意味で、銀行預金に少し似ています。利息（リターン）は微々たるものですが、元本が失われる確率はほぼゼロです。しかし、銀行の破綻や国のハイパーインフレなどが起きれば、すべてを失うリスクがゼロではないように、マルチンゲール法も「絶対に安全」とは言い切れないのです。
６．まとめ
今回紹介したマルチンゲール法は、高校数学の「等比数列の和」を使うことで、「何回目で当たっても利益が一定になる」という規則性を綺麗に証明できる非常に面白い教材です。
数学的な理論としては完璧ですが、現実世界では「資金の限界」と「カジノのルール（上限額）」という2つの壁によって、必勝法にはなり得ません。
確率や数列の仕組みをこうして現実の事象に当てはめて分析してみるのはとてもエキサイティングですが、実際にカジノで試すかどうかは、あくまで自己責任でお願いしますね（笑）。
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