数学が得意な人ほど、確率の問題で「対称性」を見つけると嬉しくなります。しかし、その対称性を信じすぎると思わぬ「落とし穴」にはまることがあります。
今回は、私が現役の数学教師でありながら、思わず「おっと…」と唸ってしまった、5人のじゃんけんに関する問題をご紹介します。
【問題】5人でのじゃんけん
Aさん、Bさんを含む5人でじゃんけんをする。このとき、次の確率を求めなさい。
（１）勝負がつく（勝者が決まる）確率
（２）「Aさんが勝ち、Bさんが負ける」確率
1. 私がはまってしまった「間違い解答」
まずは、私がやってしまったミスを見てください。どこが論理の飛躍か分かりますか？
（1）勝負がつく確率の計算
全事象は $3^5$ 通り。勝負がつくのは「出された手が2種類」のときです。
選ぶ2種類の手（例えばグーとチョキ）に対して、全員の出し方は $2^5$ 通り。ここから全員同じ手になる2通りを除くと $2^5 – 2 = 30$ 通り。
手の選び方は $_3\mathrm{C}_2 = 3$ 通りなので、
$$\displaystyle \frac{3 \times 30}{3^5} = \frac{10}{27}$$
ここまでは正解です。
（2）「A勝・B負」の計算（※ここが罠！）
「じゃんけんは全員平等なんだから、勝負がついた瞬間のAとBの状態も平等なはずだ」と考え、以下の表を想定しました。
| Bが勝つ | Bが負ける | |
| Aが勝つ | $\displaystyle \frac{1}{4}$ | $\displaystyle \frac{1}{4}$ |
| Aが負ける | $\displaystyle \frac{1}{4}$ | $\displaystyle \frac{1}{4}$ |
勝負がついたという条件下で、AとBの勝敗パターンは「2人とも勝ち」「A勝ちB負け」「A負けB勝ち」「2人とも負け」の4通り。これが等確率だと信じ込み、
$$\displaystyle \frac{10}{27} \times \frac{1}{4} = \frac{5}{54}$$
としてしまったのです。
2. なぜ「1/4ずつ」にならないのか？
「全員平等」なのに、なぜ確率は均等に分散しないのでしょうか。
その理由は、5人でじゃんけんをしている以上、残りの3人（C, D, E）が「勝負の形」を縛っているからです。
例えば、「Aが勝ち、Bが負ける」とき、具体的に何が起きているか数えてみましょう。
正しい検証
Aが「グー」で勝ち、Bが「チョキ」で負けると固定します。このとき、勝負が成立するためには、残りの3人は「グー」か「チョキ」のどちらかを出さなければなりません。
したがって、C, D, Eの出し方：$2^3$ 通りあります。
また、Aが勝つことを考えているので、Aが「グー」で勝ち、Bが「チョキ」以外にもAの勝ち方を考える必要があるので
Aが勝つ手の選び方：3通り（グー、チョキ、パー）
これだけで、A勝・B負の場合の数は
$$\displaystyle 3 \times 2^3 = 24 \text{ 通り}$$
と求まります。
一方、「AもBも勝つ」場合（2人ともグー）はどうでしょう。
残りの3人は「グー」か「チョキ」を出せますが、全員が「グー」を出してしまうと「あいこ」になり、勝負がつきません。
つまり、C, D, Eの出し方は $2^3 – 1 = 7$ 通りしかないのです。
- A・B両者勝ちの場合の数：$$\displaystyle 3 \times (2^3 – 1) = 21 \text{ 通り}$$
修正された勝敗分布表（勝負がついた全90通り中）
| Bが勝つ | Bが負ける | |
| Aが勝つ | $\displaystyle \frac{21}{90}$ | $\displaystyle \frac{24}{90}$ |
| Aが負ける | $\displaystyle \frac{24}{90}$ | $\displaystyle \frac{21}{90}$ |
驚くべきことに、「1人が勝ち、もう1人が負ける」確率の方が、「2人揃って勝つ（負ける）」確率よりも高いのです！
3. 【正解】スマートに解く別解
まわり道をしましたが、直接計算するのが最も確実です。
（2）の解答：
「Aが勝ち、Bが負ける」状況は、Aがある手（例えばグー）を出し、Bが負ける手（チョキ）を出したとき、残りの3人がそのどちらか（グーかチョキ）を出せば成立します。
よって、その場合の数は
$$\displaystyle 3 \times 2^3 = 24 \text{ 通り}$$
求める確率は、
$$\displaystyle \frac{3 \times 2^3}{3^5} = \frac{24}{243} = \frac{8}{81}$$
まとめ：数学的直感のメンテナンス
今回の私の失敗は、「個人の平等さ」を「ペアの勝敗パターンの独立性」と混同してしまったことにあります。
多人数じゃんけんでは、誰かが勝つという事象が他の誰かの出し方を制限するため、条件付き確率は一様にはなりません。
「感覚で解ける」と思ったときこそ、一度ペンを止めて具体的な事象を書き出してみる。
そんな基本の大切さを、改めてじゃんけんに教えられた気がします。
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