自動販売機やコンビニで、普段何気なく手に取っている「コーラの缶」。
世の中にはいろいろな形の容器がありますが、なぜ缶ジュースや缶コーラは、どれも似たような「あの円柱の形」をしているのでしょうか。
「持ちやすいから」「自動販売機に入れやすいから」
もちろんそれらも正解ですが、実はあの形の裏には、企業の製造コストを限界まで抑えるための「数学の微分」が隠されています。
今回は、高校数学で習う「数Ⅲの微分」を使って、缶の形に隠された経済的な秘密をスッキリ解き明かしてみましょう！
1. 企業の本音は「アルミの量をケチりたい」
缶を製造するメーカーにとって、一番の関心事は「いかに材料費（アルミの代金）を安く抑えるか」です。
コーラの液体をしっかり350ml入れる（＝体積を固定する）ことは絶対条件ですが、まわりの缶を作るアルミの量（＝表面積）は、少なければ少ないほどコストカットになります。
つまり、この問題は数学的にいうと次のように言い換えることができます。
「体積（$V$）を一定に保ったまま、表面積（$S$）を最小にするには、どんな円柱の形にすればいいか？」
これぞまさに、数学が得意とする「最大・最小問題」の出番です。
2. 【実践】微分を使って「缶の黄金比」を計算しよう
それでは、実際に文字を使って計算してみましょう。
円柱の形をした缶を想定します。
- 底面の半径を $r$
- 高さを $h$
- 体積を $V$ （定数として扱います）
- 表面積を $S$
とおきます。
ステップ①：表面積 $S$ を数式にする
円柱の表面積は、「底面2つ分の円の面積」と「側面の面積」の合計です。
側面の横の長さは、底面の円周の長さである $2\pi r$ と同じになるので、表面積は次の式で表せます。
$$S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$
ステップ②：文字を $r$ だけに絞り込む
このままでは文字が $r$ と $h$ の2つあって微分しにくいので、体積が$V$で定数になる事実を使って文字を1つに減らします。
円柱の体積 $V$ は「底面積 $\times$ 高さ」なので、次のようになります。
$$V = \pi r^2 h$$
これより、高さ $h$ は次のように変形できます。
$$\displaystyle h = \frac{V}{\pi r^2}$$
この $h$ を、最初の表面積 $S$ の式に代入してみましょう。
$$S = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \left( \displaystyle \frac{V}{\pi r^2} \right)$$
分母と分子の文字を整理すると、表面積 $S$ を半径 $r$ だけで表す数式が完成します。
$$S = 2\pi r^2 + \displaystyle \frac{2V}{r}$$
ステップ③：微分して「最小値」を求める
表面積 $S$ が最小になるときの半径 $r$ を調べるために、$r$ で微分（導関数を計算）します。
$$\displaystyle \frac{dS}{dr} = 4\pi r – \displaystyle \frac{2V}{r^2}$$
表面積が最小（極小）になるとき、この微分の値は $0$ になります。
$$4\pi r – \displaystyle \frac{2V}{r^2} = 0$$
両辺に $r^2$ をかけて整理します。
$$4\pi r^3 = 2V$$
ここで、先ほどの体積の公式（$V = \pi r^2 h$）をここに元に戻してあげます。
$$4\pi r^3 = 2(\pi r^2 h)$$
$$4\pi r^3 = 2\pi r^2 h$$
両辺を $2\pi r^2$ で割ってみると、驚くほどスッキリした答えが返ってきます。
$$2r = h$$
3. 結論：一番エコなのは「直径 ＝ 高さ」のとき！
数式が教えてくれた答えは、$2r = h$ でした。
$2r$ とは「底面の直径」のことですから、数学的な結論はこうです。
「底面の直径と、缶の高さが同じ長さになるとき、アルミの量が一番少なくて済む（最もエコな立体である）」
正方形にすっぽり収まるような、ちょっとずんぐりした円柱が、実は一番コストパフォーマンスが良い形なのです。
実際、スープの缶詰やキャットフードの缶などを思い浮かべてみてください。結構「直径と高さが同じくらい」のずんぐりした形をしていますよね。あれはまさに、この数学の計算通りにコストを最小化している例です。
4. なぜ実際のコーラ缶は、少し細長いの？
ここで一つの疑問が浮かびます。
「でも、実際のコカ・コーラの缶って、直径よりも高さの方が長い（細長い）よね？」
数学の計算の通りにするなら、もっと太くて短い缶にすべきです。
なぜコカ・コーラ社はそうしないのでしょうか？
そこには、数学の理想をさらに超える「現実世界の大人（デザインと物理）の事情」が3つあります。
5. まとめ：数学は「社会の最適化」に使われている
数学の計算上の黄金比は「直径：高さ＝1：1」。
現実のコーラ缶は、そこに「持ちやすさ」や「自販機の都合」をブレンドして、少しだけ高さを長くした絶妙なバランスで落ち着いています。
教科書の中にだけ登場するイメージの「微分」ですが、実は企業のコスト削減や、製品のデザインを決定する現場で、なくてはならない「最適化のツール」として大活躍しています。
次に冷たいコーラを飲むときは、ぜひその缶を眺めながら、
「あぁ、この形の裏で微分が働いているんだな」
と思いを馳せてみてくださいね。
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