【共通テスト数学A】円に内接する四角形の性質3選！気づかないと解けない図形問題の攻略法

１．共通テストの図形問題で「円の存在」に気づけるか？

共通テストの数学A（図形の性質）を解いていて、こんな経験はありませんか？

実は、こうした難問の多くは、図の中に「隠れた円（円に内接する四角形）」が潜んでおり、それに気づきさえすれば一撃で解法が見えるように作られています。試験本番のプレッシャーの中では、ただの四角形に見えても、実は円に内接しているケースが多々あります。

今回は、共通テストで絶対に外せない「円に内接する四角形を見抜く・使いこなすための3つの重要性質」を、数学的に厳密な条件とともに整理して解説します！

まずは基本となる性質ですが、正確な位置関係の条件を確認しておきましょう。

内容：直線 $AB$ に関して同じ側にある2点 $P, Q$ について、$\angle APB = \angle AQB$ が成り立つならば、4点 $A, B, P, Q$ は同一円周上にある（円に内接する）。
【補足】反対側にある場合は？ もし点 $P$ と点 $Q$ が直線 $AB$ の反対側にある場合は、$\angle APB + \angle AQB = 180^\circ$ が成り立てば同一円周上にあります。これは後述する「対角の和が $180^\circ$」の性質と根っこが同じです。
共通テストでの見抜き方： 「ある辺を見込む角が等しい」という条件を見たら、反射的に「あ、この4点、同じ円に乗っかってるぞ！」と疑いましょう。（※なお、中学校では「円周角の定理」までを扱い、その「逆」は高校の数学A（図形の性質）で学習します。受験においては強力な武器になります。）

受験数学において、最も使用頻度が高く強力なのがこの性質です。

内容（凸四角形）： 凸四角形が円に内接するための必要十分条件は、「向かい合う角（対角）の和が $180^\circ$」であることです。
「外角＝内対角」の強力な使い方： 円に内接する凸四角形のひとつの辺を延長したとき現れる「外角」は、その頂点における対角（向かい合う頂点の内角）に完璧に等しくなります。（例：頂点 $A$ における外角は、その向かい側の頂点である頂点 $C$ の内角に等しくなります。）さらに、この「外角＝内対角」の逆（外角が内対角に等しいならば、4点は同一円周上にある）も成り立ちます。
共通テストでの見抜き方： 複雑な図形の中で、この「外角＝内対角」の形を見つけると、等しい角（相似な三角形）が一気に連鎖します。ここを見抜けるかどうかが、得点を分ける大きな分岐点です。

方べきの定理（$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ など）自体は多くの受験生が知っていますが、「逆」となると位置関係の注意が必要です。

内容と厳密な条件：2つの異なる直線 $AB$ と $CD$ の交点を $P$ とするとき、次のいずれかの位置関係を満たしている必要があります。
1. 点 $P$ が線分 $AB$ の内部かつ線分 $CD$ の内部にある（2線分が交わる）点 $P$ が線分 $AB$ の外部かつ線分 $CD$ の外部にある（延長線上で交わる）
この位置関係を満たした上で、$$PA \cdot PB = PC \cdot PD$$が成り立てば、4点 $A, B, C, D$ は同一円周上にあると言えます。
※片方が線分の内部で、もう片方が外部にあるときは、長さの積が等しくても同一円周上にはなりません。また、4点が一直線上にある場合なども除外されます。
共通テストでの見抜き方： 長さの積の関係（$PA \cdot PB = PC \cdot PD$）が与えられたとき、位置関係の条件をクリアしていれば「あ、この4点はひとつの円の上にあるから、円周角の定理が使える！」と発想を広げられます。角度の情報すらなかった図形に突如として等しい角を持ち込める、非常に強力な一手です。