「$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 2^k$ なら解けるのに、$\displaystyle \sum_{k=3}^{n-2} 2^k$ になった瞬間に意味が分からなくなる……」
「シグマの等比数列の和の公式って、文字が多くてどれをどこに代入すればいいか迷子になる！」
これ、数列を習う高校生が必ずと言っていいほどハマる大泥沼だ。
なぜ解けなくなるのか？理由はハッキリしている。
教科書に載っている
$$\displaystyle \sum_{k=1}^n ar^{k-1}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$$
という公式の「文字の形」だけを丸暗記しているからだ。
今回は、シグマの上下の数字がどんなに複雑にズラされても、絶対に迷子にならずに秒殺できるようになる「書き下しテクニック」を伝授する。この方法をマスターすれば、もう公式の形に振り回されることはなくなるぞ！
１．そもそも「等比数列の和」に必要なパーツは3つだけ
シグマの計算に入る前に、等比数列の和の公式を「文字」ではなく「言葉」で脳内にインストールし直そう。
等比数列の和を求めるために必要な情報は、次の 3つのパーツだけ だ。
- 初項 （一番最初に足す数）
- 公比 （次にかける数）
- 項数 （全部で何個の数を足すか）
この3つさえ分かれば、どんな等比数列の和も次の公式で一発で計算できる。
$$\text{等比数列の和} = \displaystyle \frac{\text{初項} \times (\text{公比}^{\text{項数}} – 1)}{\text{公比} – 1}$$
そう、公式の中の「$n$」という文字は、単に「項数」を表しているに過ぎない。だから、上が $n-2$ だろうが何だろうが、「項数が何個あるか」さえ掴めば勝ちなのだ。
２．魔法のステップ：シグマが出たら、まずは「具体的に書き下す」
シグマの上下が $1$ や $n$ からズレていてパニックになりそうなときは、
「シグマをバラして、普通の足し算の式（$+ \ + \ + \dots$）に書き戻す」
これが最強の解決策だ。
例えば、次のシグマを見てみよう。
$$\displaystyle \sum_{k=3}^{n-2} 2^k$$
「うわ、上が $n-2$ だし、始まりも $k=3$ になってる……」と絶望する必要は一切ない。
シグマの定義通り、$k = 3, 4, 5, \dots$ と順番に数字を代入して、式を具体的に書き並べてみる。
- $k=3$ を代入 $\implies 2^3 = 8$
- $k=4$ を代入 $\implies 2^4 = 16$
- $k=5$ を代入 $\implies 2^5 = 32$
これを最後の $k = n-2$ まで律儀に足し算で繋いでみると、次のようになる。
$$8 + 16 + 32 + \dots + 2^{n-2}$$
どうだろう？こうやって書き下してしまえば、ただの「普通の等比数列の足し算」に見えてこないだろうか？
ここから、さっきの「3つのパーツ」を順番に読み取っていこう。
①「初項」を読み取る
書き下した式の一番最初にある数字を見ればいい。
$$\text{初項} = 8 \quad (2^3)$$
②「公比」を読み取る
$8 \to 16 \to 32$ と、いくつずつ掛け算されているかを見ればいい。
$$\text{公比} = 2$$
③「項数」を読み取る（★ここが一番のキモ！）
一番間違いやすいのがこの「項数」だ。
今回は $k = 3$ から始まって、$k = n-2$ まで足している。
「項数は $(n-2) – 3 = n-5$ 個だ！」とやってしまう人が非常に多いが、これは間違い。
⚠️ 超重要：項数の数え方ルール（+1する理由）
整数が何個あるかを数えるときは、「（終わりの数）－（始まりの数）＋ 1」 をしなければいけない。
例：3から8までの整数は、 $8 – 3 = 5$ ではなく、 $3, 4, 5,6,7,8$ の「6個」ある。$(8 – 3 + 1 = 6)$
ちなみに、$8 – 3 = 5$ は間隔の個数であることが分かれば+1する理由がさらに強固に覚えることができるであろう。
このルールを当てはめると、今回の項数は次のようになる。
$$\text{項数} = (n – 2) – 3 + 1 = n – 4 \text{ 個}$$
これで「3つのパーツ」がすべて揃った！
- 初項 ＝ $8$
- 公比 ＝ $2$
- 項数 ＝ $n-4$
あとは、これを言葉の公式にそっくりそのまま当てはめるだけだ。
$$\text{求める和} = \displaystyle \frac{8 \times (2^{n-4} – 1)}{2 – 1}$$
$$= 8 \times (2^{n-4} – 1)$$
$$= 8 \cdot 2^{n-4} – 8$$
$$= 2^3 \cdot 2^{n-4} – 8 = 2^{n-1} – 8$$
複雑に見えたシグマが、一瞬で綺麗な答えに辿り着いた。
シグマのままガチャガチャいじるより、一度書き下した方が絶対に確実で、計算ミスも防げるのだ。
３．腕試し例題
実際にこの「書き下しテクニック」を使って、次の2つの例題を解いてみよう。
【例題1】始まりがズレているパターン
$$\displaystyle \sum_{k=4}^{n} 3^{k-1}$$
【解き方】
まずは具体的に $k=4, 5, 6 \dots$ と代入して書き下す。
- $k=4 \implies 3^{4-1} = 3^3 = 27$
- $k=5 \implies 3^{5-1} = 3^4 = 81$式を並べると：$$27 + 81 + 243 + \dots + 3^{n-1}$$
ここから3つのパーツを読み取ろう。
- 初項： 一番最初の数なので $27$
- 公比： $3$ ずつかけられているので $3$
- 項数： $k=4$ から $n$ までなので、 $n – 4 + 1 = n – 3 \text{ 個}$
パーツを公式にブチ込む！
$$\text{求める和} = \displaystyle \frac{27 \times (3^{n-3} – 1)}{3 – 1}$$
$$= \displaystyle \frac{27 \cdot 3^{n-3} – 27}{2}$$
$$= \displaystyle \frac{3^3 \cdot 3^{n-3} – 27}{2} = \frac{3^n – 27}{2}$$
【例題2】上下ともにズレている応用パターン
$$\displaystyle \sum_{k=2}^{n-1} 5 \cdot 2^{k+1}$$
【解き方】
ビビらずにまずは $k=2, 3 \dots$ を代入して書き下し！
- $k=2 \implies 5 \cdot 2^{2+1} = 5 \cdot 2^3 = 40$
- $k=3 \implies 5 \cdot 2^{3+1} = 5 \cdot 2^4 = 80$式を並べると：$$40 + 80 + 160 + \dots + 5 \cdot 2^n$$
3つのパーツを読み取る。
- 初項： 一番最初の数なので $40$
- 公比： $2$ ずつかけられているので $2$
- 項数： $k=2$ から $n-1$ までなので、 $(n – 1) – 2 + 1 = n – 2 \text{ 個}$
パーツを公式にブチ込む！
$$\text{求める和} = \displaystyle \frac{40 \times (2^{n-2} – 1)}{2 – 1}$$
$$= 40 \times (2^{n-2} – 1)$$
$$= 40 \cdot 2^{n-2} – 40$$
$$= (5 \cdot 8) \cdot 2^{n-2} – 40 = 5 \cdot 2^3 \cdot 2^{n-2} – 40 = 5 \cdot 2^{n+1} – 40$$
４．まとめ：シグマの等比数列は「形」ではなく「中身」を見よう
シグマの等比数列の和が出たときは、公式にそのまま当てはめようとしてはいけない。
どんなに変な数字がついていても、やるべきことは常にこれだけだ。
- まずは3項目ほど具体的に書き下す
- 「初項」「公比」をダイレクトに読み取る
- 「（終わり）－（始まり）＋ 1」で正確な「項数」を出す
この3ステップを徹底すれば、共通テストや二次試験でどんな変化球を投げられても、確実に満点を狙えるようになるぞ！
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