積分で面積を求めるとき、毎回インテグラルを書いて丁寧に計算するのが大原則だ。
しかし実は、入試で頻出する「曲線と直線の組み合わせ」には、積分計算を丸ごとショートカットできる便利な公式がいくつか存在する。
「$\displaystyle \frac{1}{6}$ 公式」という名前を聞いたことがある人も多いだろう。今回はその $\displaystyle \frac{1}{6}$ 公式を起点に、$\displaystyle \frac{1}{12}$ 公式、$\displaystyle \frac{1}{4}$ 公式、そして3次関数と接線の面積比まで、知っているだけで圧倒的な差がつく5つの面積公式を「導出（証明）」付きで丁寧に紹介する。
なお、この記事では証明の流れを数式と言葉で追えるように解説している。ぜひ自分で手を動かしながら確認してほしい。
① $\displaystyle \frac{1}{6}$ 公式 —— 放物線と直線
📐 公式の形
放物線 $y = ax^2 + bx + c$ と直線 $y = mx + n$ が、$x = \alpha$ と $x = \beta \ (\alpha < \beta)$ で交わるとき、その囲まれた面積 $S$ は：
$$S = \displaystyle \frac{|a|}{6}(\beta – \alpha)^3$$
📝 導出・証明の流れ
上の式から下の式を引いた「差の式」を $f(x)$ とおく。交点が $\alpha, \beta$ なので、因数分解して $f(x) = a(x – \alpha)(x – \beta)$ と表せる。面積 $S$ は次の積分で計算できる。
$$S = \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} |a(x – \alpha)(x – \beta)| dx$$
区間 $[\alpha, \beta]$ では $(x – \alpha)(x – \beta) \le 0$ なので、絶対値を外すときにマイナスをつける。
$$S = |a| \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x – \alpha)(\beta – x) dx$$
ここで $t = x – \alpha$ と置換積分する（$dx = dt$、積分区間は $0 \to \beta – \alpha$ となる）。また、$\beta – x = \beta – (t + \alpha) = \beta – \alpha – t$ なので、
$$S = |a| \displaystyle \int_{0}^{\beta-\alpha} t(\beta – \alpha – t) dt$$
$$= |a| \left[ \displaystyle \frac{\beta – \alpha}{2}t^2 – \frac{1}{3}t^3 \right]_{0}^{\beta-\alpha}$$
$t$ に $\beta – \alpha$ を代入して整理すると、
$$= |a| (\beta – \alpha)^3 \left( \displaystyle \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right) = \frac{|a|}{6}(\beta – \alpha)^3$$
💡 使い方のポイント
使えるのは「2次関数と直線」が2点で交わる場面だ。交点の $x$ 座標 $\alpha, \beta$ を求め、2次関数の最高次の係数 $a$ を読み取るだけで面積が出る。
✏️ 例題：$y = x^2$ と $y = x + 2$ が囲む面積
交点を求める：$x^2 = x + 2 \implies (x+1)(x-2) = 0$ より $\alpha = -1, \beta = 2$。
係数は $a = 1$ なので、
$$S = \displaystyle \frac{1}{6} \times 1 \times (2 – (-1))^3 = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$$
② $\displaystyle \frac{1}{6}$ 公式（2曲線版） —— 2つの放物線
📐 公式の形
2つの放物線 $y = a_1x^2 + b_1x + c_1$ と $y = a_2x^2 + b_2x + c_2$ が $x = \alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ で交わるとき、囲まれた面積 $S$ は：
$$S = \displaystyle \frac{|a_1 – a_2|}{6}(\beta – \alpha)^3$$
📝 導出・証明の流れ
2つの放物線の差をとった関数を $f(x) = (a_1 – a_2)x^2 + \dots$ とおく。
これも結局は $x^2$ の係数が $(a_1 – a_2)$ になっただけの2次式である。交点が $\alpha, \beta$ であるため、$f(x) = (a_1 – a_2)(x – \alpha)(x – \beta)$ と因数分解できる。
あとは①と全く同じ積分計算になるため、係数 $a$ が $|a_1 – a_2|$ に置き換わるだけで証明完了だ。
③ $\displaystyle \frac{1}{12}$ 公式 —— 3次関数と接線
📐 公式の形
3次関数 $y = ax^3 + bx^2 + cx +d$ と直線（接線）が、$x = \alpha, \beta$ の2点でのみ交わるとき（一方が接点、もう一方が交点）、囲まれた面積 $S$ は：
$$S = \displaystyle \frac{|a|}{12}(\beta – \alpha)^4$$
📝 導出・証明の流れ
直線が接線であるため、差の式 $f(x)$ は接点側で「2重解（重根）」をもつ。
ここでは $x = \alpha$ で接し、$x = \beta$ で交わるとすると、$f(x) = a(x – \alpha)^2(x – \beta)$ と因数分解できる。（※ $\beta$ で接する場合は符号が対称になるだけで結果は同じ）。
$$S = |a| \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x – \alpha)^2(\beta – x) dx$$
先ほどと同じく $t = x – \alpha$ と置換する。
$$S = |a| \displaystyle \int_{0}^{\beta-\alpha} t^2(\beta – \alpha – t) dt$$
$$= |a| \left[ \displaystyle \frac{\beta – \alpha}{3}t^3 – \frac{1}{4}t^4 \right]_{0}^{\beta-\alpha}$$
$t$ に $\beta – \alpha$ を代入すると、
$$= |a| (\beta – \alpha)^4 \left( \displaystyle \frac{1}{3} – \frac{1}{4} \right) = \frac{|a|}{12}(\beta – \alpha)^4$$
💡 $\displaystyle \frac{1}{6}$ 公式との違い
- $\displaystyle \frac{1}{6}$ 公式： 差が $(x-\alpha)(x-\beta)$ ＝ 3乗になり、係数は $\displaystyle \frac{1}{6}$。
- $\displaystyle \frac{1}{12}$ 公式： 差が $(x-\alpha)^2(x-\beta)$ ＝ 4乗になり、係数は $\displaystyle \frac{1}{12}$。
④ $\displaystyle \frac{1}{4}$ 公式 —— 3次関数が変曲点で2等分されるとき
📐 公式の形
3次関数 $y = ax^3 + \dots$ と直線が $x = \alpha, \beta, \gamma \ (\alpha < \beta < \gamma)$ の3点で交わり、中央の交点 $\beta$ が両端の中点（$\beta = \displaystyle \frac{\alpha+\gamma}{2}$）であるとき、左右の面積 $S_1, S_2$ は等しくなり、その片側の面積は：
$$S_1 = S_2 = \displaystyle \frac{|a|}{4}(\beta – \alpha)^4$$
📝 導出・証明の流れ
3次関数は「変曲点」に関して点対称な図形だ。直線との3交点が等間隔（$\beta$ が中点）ということは、この交点 $\beta$ が変曲点と一致していることを意味する。したがって、対称性から $S_1 = S_2$ となる。
片方の面積 $S_1$ を計算しよう。
計算を簡単にするため、交点 $\beta$ を原点 $x = 0$ に平行移動して考える。交点間の距離を $d = \beta – \alpha$ とすると、交点は $-d, 0, d$ となる。
差の式は $f(x) = ax(x+d)(x-d) = a(x^3 – d^2x)$ と表せる。
$x = 0$ から $x = d$ までの面積は、
$$S_1 = |a| \displaystyle \int_{0}^{d} (d^2x – x^3) dx = |a| \left[ \displaystyle \frac{1}{2}d^2x^2 – \frac{1}{4}x^4 \right]_{0}^{d}$$
$$= |a| \left( \displaystyle \frac{1}{2}d^4 – \frac{1}{4}d^4 \right) = \frac{|a|}{4}d^4$$
元に戻して $d = \beta – \alpha$ を代入すれば、$\displaystyle \frac{|a|}{4}(\beta – \alpha)^4$ となる。
💡 使い方のポイント
3点で交わる問題で、「2つの面積が等しい」という条件があれば、真ん中の交点が中点になっているサインだ。積分計算の労力が半分以下になる。
⑤ 面積比 $ 1:16 $ の公式 —— 3次関数に引いた2本の接線
📐 公式の形
3次関数上の点 $P(x=p)$ における接線 $l_1$ が、曲線と $x=q$ で交わるとする。
さらに、その交点 $Q(x=q)$ における接線 $l_2$ が、曲線と $x=r$ で交わるとする。
このとき、曲線と接線 $l_1$ が囲む面積 $S_1$ と、曲線と接線 $l_2$ が囲む面積 $S_2$ の比は：
$$S_1 : S_2 = 1 : 16$$
📝 導出・証明の流れ
先ほどの「$\displaystyle \frac{1}{12}$ 公式」より、面積は $x$ 座標の幅の4乗に比例する。つまり、幅の比が分かれば面積比が求まる。
3次関数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ とする。
接線 $l_1$ との差の式は $a(x-p)^2(x-q) = 0$ となる。これを展開したときの $x^2$ の係数は $-a(2p+q)$ であり、元の3次関数の $x^2$ の係数 $b$ と一致するため、解と係数の関係より：
$$2p + q = -\frac{b}{a}$$
よって、$q – p = \displaystyle -\frac{b}{a} – 3p$ ･･･(A)
次に、接線 $l_2$（接点 $q$、交点 $r$）でも同様に考えると：
$$2q + r = -\frac{b}{a}$$
ここから幅 $r – q$ を計算する。
$$r – q = \left(-\frac{b}{a} – 2q\right) – q = -\frac{b}{a} – 3q$$
$q$ に $q = \displaystyle -\frac{b}{a} – 2p$ を代入すると、
$$r – q = -\frac{b}{a} – 3\left(-\frac{b}{a} – 2p\right) = 2\frac{b}{a} + 6p = -2\left(-\frac{b}{a} – 3p\right)$$
(A)と比較すると、$r – q = -2(q – p)$。
つまり、2つ目の交点の幅は、1つ目の幅の「ちょうど2倍」になるのだ（$|r – q| = 2|q – p|$）。
面積 $S$ は幅の4乗に比例するため、
$$S_2 = (2)^4 \times S_1 = 16 S_1$$
となり、面積比が $1:16$ になることが証明された。
📌 5つの公式の使い分け判断フロー
丸暗記を避けるため、問題を見たときは次の順番で「差の式の因数分解」から判断しよう。
- 2次関数が絡む場合$\implies$
迷わず $\displaystyle \frac{1}{6}$ 公式 を検討。 - 3次関数が絡み、因数分解が $(x-\alpha)^2(x-\beta)$ になる（2重根がある）場合$\implies$
直線が接線になっている証拠。$\displaystyle \frac{1}{12}$ 公式 を使う。 - 3次関数が絡み、因数分解が $(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ になる（単根が3つ）場合$\implies$
真ん中の解が中点になっていれば $\displaystyle \frac{1}{4}$ 公式 を使い、計算を省く。 - 3次関数の接線を次々と引いていく場合$\implies$
幅が2倍になるため、面積比 $1:16$ の法則が使えるか検討。
| 公式の通称 | 対象のグラフ | 差の式の形 | 面積 S の形 |
| $\displaystyle \frac{1}{6}$ 公式 | 2次関数 と 直線 | $(x-\alpha)(x-\beta)$ | $\displaystyle \frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)$ |
| $\displaystyle \frac{1}{6}$ 公式（2曲線） | 2次関数 と 2次関数 | $(x-\alpha)(x-\beta)$ | $\displaystyle \frac{|a_1 – a_2|}{6}(\beta-\alpha)$ |
| $\displaystyle \frac{1}{12}$ 公式 | 3次関数 と 接線 | $(x-\alpha)^2(x-\beta)$ | $\displaystyle \frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)$ |
| $\displaystyle \frac{1}{4}$ 公式 | 3次関数 と 直線（等間隔） | $(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ | $\displaystyle \frac{|a|}{4}(\beta-\alpha)$ |
| 面積比 $1:16$ | 3次関数 と 連鎖する2接線 | – | $S_1 : S_2 = 1 : 16$ |
公式を闇雲に覚えるより、「因数分解の形」に注目する習慣をつけるのが一番の近道だ。形さえ見えれば、あとは対応する分母と累乗を当てはめるだけで、試験での簡単な検算も可能になるのだ。
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