三角関数の恒等式について「asinx+bcosx=0が恒等式となる必要十分条件」

～この記事でわかること～

$a\sin{x}+b\cos{x}=0$が$x$の恒等式となる$a$と$b$の必要十分条件

$a\sin{x}+b\tan{x}=0$が$x$の恒等式となる$a$と$b$の必要十分条件

$a\cos{x}+b\tan{x}=0$が$x$の恒等式となる$a$と$b$の必要十分条件

高校数学の数学Ⅱの分野で初めて「恒等式」という言葉が出てくる．
定義は以下のとおりである．（高校程度の言葉でいうと）

定義（恒等式）
$F(x)=G(x)$が任意の$x$について成り立つとき$F(x)=G(x)$を恒等式という．

特に
$$ax^{2}+bx+c=a’x^{2}+b’x+c’$$
が任意の$x$について成り立つときは$a=a’ , b=b’ , c=c’$となる．

教科書には整式についての恒等式となる条件が書いてあるが他の三角関数や対数関数については書かれていない．そこで今回は三角関数の恒等式について考えていこうと思う。また，以下の定理（定理Ⅰと定理Ⅱ）は代入法を用いれば簡単に示すことができるが，あえて代入法を用いずに証明した．

定理Ⅰ

$a\sin{x}+b\cos{x}=0$が$x$の恒等式となる　$\Longleftrightarrow$　$a=b=0$である．

～証明～

$\Longleftarrow$については自明

$\Longrightarrow$について
三角関数の正弦($\sin$)の合成をすると
$$a\sin{x}+b\cos{x}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin{(x+\alpha)}$$

ただし，$\sin\alpha=$$\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$，$\cos\alpha=$$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$である．

よって，
$$\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin{(x+\alpha)}=0$$
ここで，$\sin{(x+\alpha)}=0$は恒等式ではないので
任意の$x$について$\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin{(x+\alpha)}=0$が成り立つためには，
$$\begin{eqnarray}
\sqrt{a^{2}+b^{2}}&=&0 \\
a^{2}+b^{2}&=&0
\end{eqnarray}$$
よって，$a=b=0$となる．　▯

定理Ⅱ

$a\sin{x}+b\tan{x}=0$が$x$の恒等式となる　$\Longleftrightarrow$　$a=b=0$である．

～証明～

$\Longleftarrow$については自明

$\Longrightarrow$について
$a \sin x + b \tan x = 0$ が $x$ の恒等式であるとする。

まず、$\tan x = $$\frac{\sin x}{\cos x}$ を用いて式を
$\sin x$ と $\cos x$ のみに整理する。
（ただし、$\tan x$ の定義域は $x \ne $$\frac{\pi}{2}$$ + n\pi$ ($n$ は整数) であることに注意する）

$$\begin{align*} a \sin x + b \tan x &= a \sin x + b \frac{\sin x}{\cos x} \\ &= \sin x \left( a + \frac{b}{\cos x} \right) \\ &= \frac{\sin x}{\cos x} (a \cos x + b) \end{align*}$$

恒等式 $a \sin x + b \tan x = 0$ は $\tan x (a \cos x + b) = 0$ と同値であり、
これが $\tan x$ の定義域内で任意の $x$ について成り立つ。

$\frac{1}{\cos x}$ は恒等的に $0$ ではないため、$a \sin x + b \tan x = 0$ が成り立つためには、
以下のいずれかの条件が任意の $x$ で成立する必要がある。

$$\sin x (a \cos x + b) = 0$$

$\sin x$ は恒等的に $0$ ではないため、任意の $x$ で上式が成り立つためには、

$$a \cos x + b = 0$$

が任意の $x$ （ただし $\cos x \ne 0$ の範囲）で恒等式として成立しなければならない。

$\cos x$ は $x$ の値によって $-1$ から $1$ まで変化する変数であり、定数ではない。

$a \cos x + b$ が任意の $x$ で定数 $0$ となるためには、$\cos x$ の変動を打ち消す必要があり、
それは $\cos x$ の係数 $a$ が $0$ の場合に限られる。

$a = 0$ を $a \cos x + b = 0$ に代入すると、$$0 \cdot \cos x + b = 0$$
これにより、$b = 0$ が導かれる。

したがって、恒等式が成立するためには $a = 0$ かつ $b = 0$ が必要である。

ゆえに、$a = b = 0$ である。$\text{ }\text{ }\text{ }\square$

定理Ⅲ

$a\cos{x}+b\tan{x}=0$が$x$の恒等式となる　$\Longleftrightarrow$　$a=b=0$である．

～証明～

$\Longleftarrow$については自明

$a \cos x + b \tan x = 0$ が $x$ の恒等式であるとする。
（ただし、$\tan x$ の定義域 $x \ne $$\frac{\pi}{2}$$ + n\pi$ ($n$ は整数) で成立するものとする）

$\tan x = $$\frac{\sin x}{\cos x}$ を用いて式を $\sin x$ の整式に帰着させる。

$$\begin{align*} a \cos x + b \tan x &= a \cos x + b \frac{\sin x}{\cos x} \\ &= \frac{1}{\cos x} (a \cos^2 x + b \sin x) \\ &= \frac{1}{\cos x} \{ a (1 – \sin^2 x) + b \sin x \} \\ &= \frac{1}{\cos x} (-a \sin^2 x + b \sin x + a) \end{align*}$$

恒等式 $a \cos x + b \tan x = 0$ は
$$\frac{1}{\cos x} (-a \sin^2 x + b \sin x + a) = 0$$
と同値である。

$\frac{1}{\cos x}$ は恒等的に $0$ ではないため、この式が定義域内で任意の $x$ について成り立つためには、

$$-a \sin^2 x + b \sin x + a = 0$$

が恒等式として成立しなければならない。

ここで、$t = \sin x$ とおく。$x$ が実数全体を動くとき、$t$ は $[-1, 1]$ のすべての値をとる。

したがって、上式は $t$ に関する二次式として、

$$-a t^2 + b t + a = 0$$

が $t \in [-1, 1]$ の範囲で恒等的に成立することを意味する。

整式の恒等式の性質より、ある区間内で $n$ 次の多項式が恒等的に $0$ となるためには、
すべての係数が $0$ でなければならない。

$$\begin{cases} t^2 \text{ の係数:} & -a = 0 \\ t \text{ の係数:} & b = 0 \\ \text{定数項:} & a = 0 \end{cases}$$

したがって、$a = 0$ かつ $b = 0$ が導かれる。

ゆえに、$a = b = 0$ である。$\text{ }\text{ }\text{ }\square$