「72の法則」をご存じですか？
最近、新NISAや投資に関するYouTubeなどで頻繁に耳にする言葉です。
72の法則とは？
投資において、72を「年間利回り（％）」で割ると、元金が2倍になる年数がおおよそ計算できるという法則。
例： 年利4％で運用した場合
$$\displaystyle \frac{72}{4} = 18 \text{（年）}$$
おおよそ18年で資産が倍になる。
非常に便利な法則ですが、ふと疑問に思いませんか？
「なぜ、72なの？」 と。
60でも100でもなく、なぜ中途半端な「72」という数字が出てくるのでしょうか。
今回は、この魔法の数字「72」がどのように導き出されたのか、高校数学（指数・対数・微分）を使って証明していきます。
72の法則の証明
まずは数学的なモデルを作ってみましょう。
年利を $100x$ ％（つまり小数は $x$ ）、元手が2倍になるまでの年数を $n$ 年とします。
すると、複利計算の式から次の方程式が導かれます。
$$(1+x)^n = 2$$
左辺は「ある資産を年利 $x$ で $n$ 年運用した倍率」、右辺は「2倍」を表しています。
この式を $n$ について解いていきましょう。
1. 両辺の対数をとる
まず、この等式の両辺に自然対数（$\log_e$）をとります。
$$\log(1+x)^n = \log 2$$
対数の性質により、指数 $n$ を前に出すことができます。
$$n \log(1+x) = \log 2$$
これを $n$ について整理すると、以下のようになります。
$$n = \frac{\log 2}{\log(1+x)}$$
ここで、分子の $\log 2$ の値はすでに分かっており、$\log 2 \approx 0.693146 \dots$ です。
問題は分母の $\log(1+x)$ です。たとえば利回りが2%なら $x=0.02$ ですが、$\log 1.02$ の値を暗算できる人はいません。
ここからが数学の腕の見せ所です。この扱いにくい分母を、**「微分の定義」**を使ってスッキリさせていきましょう。
2. 「微分の定義」で近似する
微分の定義式を思い出してください。
関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数は、以下の極限で定義されます。
$$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) – f(a)}{x – a}$$
これは、「$x$ が $a$ に限りなく近いとき、この等式が近似的に成り立つ」ことを意味しています。
今回、投資の利回り $x$ は数パーセント（0.01 ～ 0.05程度）なので、$0$ に非常に近い値と言えます。そこで $a=0$ として考えてみましょう。
$$f'(0) \approx \frac{f(x) – f(0)}{x}$$
これを変形すると、次のような強力な近似式（一次近似）が手に入ります。
$$f(x) \approx f(0) + f'(0)x \quad \dots ①$$
ここで、$f(x) = \log(1+x)$ とおきます。
これを微分すると $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{1+x}$ なので、$x=0$ を代入すると $f'(0) = 1$ となります。
また、$f(0) = \log 1 = 0$ です。
これらを①の式に代入すると……
$$\log(1+x) \approx x$$
なんと、あんなに複雑だった対数が、ただの $x$ になってしまいました！
3. いよいよ「法則」の完成
この結果を、先ほどの $n$ の式に戻してみましょう。
$$n = \frac{\log 2}{x}$$
分子に $\log 2 \approx 0.693$ を代入し、分母の $x$（小数）を $100x$（パーセント表記）にするために分母・分子に100を掛けると……
$$\displaystyle n = \frac{69.3146 \dots}{100x}$$
つまり、元金を2倍にする年数を求めるには、
「約69を年利（％）で割ればよい」
という結論になります。
「えっ、69？ 72じゃないじゃん！」
そう思った方、その通りです。数学的に厳密に言えば、これは**「69の法則」**と呼ぶのが正しいのです。
なぜ「72」の法則になったのか？
では、なぜ「69」ではなく「72」が使われているのでしょうか？
そこには、実用性を重視した2つの賢い理由がありました。
理由1：約数の多さ（割り算のしやすさ）
暗算をする際、「69」という数字は非常に扱いにくいです。
素因数分解すると $69 = 3 \times 23$ となり、約数は 1, 3, 23, 69 の4つしかありません。これでは、利回りが2%や4%の時に割り切れず、計算が面倒です。
そこで、69に近い整数の約数の数を調べてみましょう。
- 68 → 1, 2, 4, 17, 34, 68（6個）
- 69 → 1, 3, 23, 69（4個）
- 70 → 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70（8個）
- 72 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72（12個！）
72の約数は圧倒的に多く、2, 3, 4, 6, 8, 9 といったよくある利回りで割り切ることができます。これが1つ目の理由です。
理由2：近似のズレを修正するため
もう一つの理由は、先ほど行った「近似」の精度に関わります。
$\log(1+x) \approx x$ という近似を行いましたが、実際には $\log(1+x)$ の方が $x$ よりもわずかに小さな値になります。
- $\log(1+0.01) \approx 0.00995 < 0.01$
- $\log(1+0.05) \approx 0.04879 < 0.05$
分母である $\log(1+x)$ を $x$（少し大きな値）に置き換えたため、分数の結果である $n$ は本来よりも少し小さくなってしまいます。
このズレを補正するために、分子（69）の方も少し大きくしてあげるのが望ましいのです。
「約数が多くて計算しやすい」 かつ 「近似の誤差もちょうど埋めてくれる」。
この2つの条件を完璧に満たす数字こそが、「72」だったのです。
グラフで見る「69」と「72」の精度
実際に、真の値（赤）、69の法則（青）、72の法則（緑）でどれくらいズレがあるのかをグラフにしてみました。
上が69の法則（青）です。 下が72の法則(緑)です。
グラフから分かること
- 青（69の法則）： 利回りが0に近い極限状態では正しいですが、利回りが高くなるにつれて真の値（赤）より下回ってしまいます。
- 緑（72の法則）： 利回りが高いエリア（5%〜10%など）では、むしろ真の値（赤）に非常に近く、フィットしていることが分かります。
投資の世界では数％〜10％程度の利回りを想定することが多いため、実用的には69よりも72の方が精度が高くなるのです。
まとめ
今まで「72の法則」をただの便利な公式として覚えていた方も多いと思います。
しかしその裏側には、対数による計算、微分による近似、そして使いやすさを追求した先人たちの知恵が隠されていました。
- 基本は「69」から導かれる。
- 使いやすさと精度の補正で「72」に進化した。
日常には数学に満ち溢れています。「数学なんて四則演算ができれば十分」なんて言われることもありますが、こうして法則の原点が見えると、世界がもっと面白く、味わい深く見えてきませんか？
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