学習指導要領では、中学3年生のときに初めて「根号（ルート）」を学ぶことになっています。そして、 $\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$ の近似値は「一夜一夜に人見頃（1.41421356）」のような語呂合わせで暗記した人も多いと思います。
しかしながら、それら以外の根号の値を覚えている人は少ないのではないでしょうか？私も先ほどの3つくらいしかパッとは出てきません。そこで今回は、$\sqrt{6}$ や $\sqrt{7}$ などの近似値を自力で求める面白い方法の一つを紹介したいと思います。
今回は、高校数学で学ぶ「数列の漸化式」の知識を使います！
ニュートン・ラフソン法とは？
根号の近似値を求める方法はいくつかありますが、今回はそのうちのひとつである「ニュートン・ラフソン法」を使って求めていきます。さっそく、その漸化式を紹介しましょう。
$p$ を自然数とし、$\sqrt{p}$ は無理数とします。数列 $\{a_n\}$ が次の漸化式を満たすとします。
$$a_{1}=a\hspace{10pt},\hspace{10pt}a_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(a_{n}+\displaystyle\frac{p}{a_{n}}\right)$$
（ただし、$a$ は $a-1<\sqrt{p}<a$ を満たす自然数とします）
この漸化式を満たすとき、数列 $a_n$ の具体的な値を順番に計算していくことによって、いくらでも $\sqrt{p}$ に近い有理数を求めることができるのです。
漸化式の3つの性質
先ほどの漸化式には、次のような強力な性質があります。
- すべての自然数 $n$ について、$a_{n}$ は有理数である。
- すべての自然数 $n$ について、$\sqrt{p}<a_{n}$ が成り立つ。
- すべての自然数 $n$ について、$a_{n+1}<a_{n}$ が成り立つ。
なんだか難しそうに見えるかもしれませんが、1つずつ順番に証明していきましょう。
１．の証明
自明であるといっても差し支えない気がしますが、数学的帰納法でしっかりと証明します。
[1] $n=1$ のとき
$a_1 = a$ であり、$a$ は自然数なので有理数となります。
[2] $n=k$ のとき成り立つ、つまり $a_k$ は有理数であると仮定します。
$n=k+1$ のときは、
$$a_{k+1}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(a_{k}+\displaystyle\frac{p}{a_{k}}\right)$$
となります。「有理数の和・差・積・商は有理数になる」という性質があり、右辺は仮定より $a_k$ が有理数、題意より $p$ が自然数（有理数）なので、計算結果も有理数となります。したがって、$a_{k+1}$ も有理数です。
[1], [2]より、すべての自然数 $n$ について、$a_{n}$ は有理数であることが示されました。
２．の証明
こちらも数学的帰納法により証明します。
[1] $n=1$ のとき
$a_1 = a$ であり、条件より $a-1 < \sqrt{p} < a$ なので、$\sqrt{p} < a_1$ が成り立ちます。
[2] $n=k$ のとき、$\sqrt{p}<a_k$ が成り立つと仮定します。
$n=k+1$ のとき、$a_k>0$ かつ $\displaystyle\frac{p}{a_{k}}>0$ なので、相加・相乗平均の関係より、
$$\begin{split} a_{k+1}&=\displaystyle\frac{1}{2}\left(a_{k}+\displaystyle\frac{p}{a_{k}}\right)\\ &\geqq\sqrt{a_{k}\times\displaystyle\frac{p}{a_{k}}}\\ &=\sqrt{p} \end{split}$$
ここで仮定 $\sqrt{p}<a_k$ より $\sqrt{p} \neq a_k$ なので、相加・相乗平均の等号が成り立つことはありません。よって $\sqrt{p}<a_{k+1}$ となり、$n=k+1$ のときも成り立ちます。
[1], [2]より、すべての自然数 $n$ について、$\sqrt{p}<a_{n}$ が成り立ちます。
３．の証明
$a_n-a_{n+1}>0$ となることを示します。
$$\begin{split} a_n-a_{n+1}&=a_n-\displaystyle\frac{1}{2}\left(a_{n}+\displaystyle\frac{p}{a_{n}}\right)\\ &=\displaystyle\frac{1}{2}a_n-\displaystyle\frac{p}{2a_n}\\ &=\displaystyle\frac{1}{2}\left(a_n-\displaystyle\frac{p}{a_n}\right)\\ &=\displaystyle\frac{{a_n}^2-p}{2a_n} \end{split}$$
ここで「性質2」より $\sqrt{p}<a_{n}$ であるから、$2a_n>0$ です。また、両辺は正の数なので2乗しても大小関係は変わらず $p<{a_{n}}^2$ となり、${a_{n}}^2-p>0$ となります。
したがって、$\displaystyle\frac{{a_n}^2-p}{2a_n}>0$ となるため、$a_{n+1}<a_{n}$ が証明されました。
性質から分かること（結論）
さて、以上の3つの性質から得られることをまとめるとこうなります。
- 性質1より、数列 $\{a_n\}$ はすべて有理数なので、四則演算だけで具体的に値を求めることが可能。
- 性質2より、すべての $a_n$ は目標である $\sqrt{p}$ よりわずかに大きい。
- 性質3より、数列 $\{a_n\}$ は $n$ が大きくなるにつれて、どんどん値が小さくなっていく。
これらを一本の式にまとめると、次のようになります。
$$\sqrt{p} < \cdots < a_{n+1} < a_n < \cdots < a_2 < a_1 = a$$
つまり、数列 $\{a_n\}$ を計算し続けることで、上から押さえつけるようにして、いくらでも $\sqrt{p}$ に近い有理数を求めることができるのです！
実践：ルート7の近似値を計算してみよう
それでは実際に、ニュートン・ラフソン法を用いて $\sqrt{7}$ の近似値を計算してみましょう。
$\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$ より $2 < \sqrt{7} < 3$ なので、初期値は $a_1=3$ とおきます。
$$\begin{split} a_2&=\displaystyle\frac{1}{2}\left(a_{1}+\displaystyle\frac{7}{a_{1}}\right)\\ &=\displaystyle\frac{1}{2}\left(3+\displaystyle\frac{7}{3}\right)\\ &=\displaystyle\frac{8}{3}\\ &\fallingdotseq2.666666666\cdots \end{split}$$
このようにして、$a_3$、$a_4$ と計算を進めてみます。
$$\begin{split} a_3&=\displaystyle\frac{1}{2}\left(a_{2}+\displaystyle\frac{7}{a_{2}}\right)\\ &=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{8}{3}+\displaystyle\frac{7}{\displaystyle\frac{8}{3}}\right)\\ &=\displaystyle\frac{127}{48}\\ &\fallingdotseq2.645833333\cdots \end{split}$$
$$\begin{split} a_4&=\displaystyle\frac{1}{2}\left(a_{3}+\displaystyle\frac{7}{a_{3}}\right)\\ &=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{127}{48}+\displaystyle\frac{7}{\displaystyle\frac{127}{48}}\right)\\ &=\displaystyle\frac{32257}{12192}\\ &\fallingdotseq2.645751312\cdots \end{split}$$
このように計算していくと、「$\sqrt{7}$ は $2.645751312\cdots$ より少し小さい値かな？」と見当をつけることができます。
実際の $\sqrt{7}$ の値は $\fallingdotseq2.64575131106\cdots$（菜に虫いない）なので、$a_4$ を求めただけでも、手計算としては恐ろしいほど精度の高い近似値が得られていることが分かりますね！
なぜこの漸化式ができるのか？（導出方法）
そもそも、どのような考えに基づいて
$$a_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(a_{n}+\displaystyle\frac{p}{a_{n}}\right)$$
という漸化式が導出されているかについて、最後に触れておきます。
求めたい平方根 $\sqrt{p}$ に対して、$f(x)=x^2-p$ とおきます。
$y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸との交点のうち、$x$ 座標が正になっている方がズバリ $\sqrt{p}$ です。
$a-1<\sqrt{p}<a$ を満たす自然数を $a$ とし、$a_1=a$ とおきます。
そして、点 $(a_1, f(a_1))$ における接線を引き、その接線と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を $a_2$ とします。
次に、点 $(a_2, f(a_2))$ における接線を引き、その接線と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を $a_3$ とします。これを繰り返していくのです。
つまり、点 $(a_n, f(a_n))$ における $y=f(x)$ の接線と、$x$ 軸との交点の $x$ 座標を $a_{n+1}$ と定めています。
点 $(a_n, f(a_n))$ における接線の方程式は
$$y-f(a_n)=f'(a_n)(x-a_n)$$
接線の傾きは微分して $f'(a_n)=2a_n$ となるので、
$$y-({a_n}^2-p)=2a_n(x-a_n)$$
となります。この接線と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を知りたいので $y=0$ を代入して整理すると、
$$x=\displaystyle\frac{1}{2}\left(a_{n}+\displaystyle\frac{p}{a_{n}}\right)$$
となります。これが次の座標 $a_{n+1}$ となるため、
$$a_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(a_{n}+\displaystyle\frac{p}{a_{n}}\right)$$
という漸化式が導かれるわけです。
グラフ（GeoGebraなどで描画してみてください）を見ると、点 $P(\sqrt{p},0)$ に向かって、接線がどんどん $x$ 軸の交点をすべり落ちていく様子が分かります。数列 $a_n$ が単調減少し、かつ $\sqrt{p}$ より小さくなることはないことが、視覚的にもはっきりと理解できるはずです。
まとめ
今回はニュートン・ラフソン法による平方根の近似値の求め方について述べました。
もし今後、試験中などにどうしても平方根の近似値を自力でひねり出さなければいけないときは、ぜひこの漸化式を思い出して使ってみてくださいね！
コメント