今回は「エビングハウスの忘却曲線」についての考察です。対数関数や極限の知識があれば十分に理解できる内容なので、ぜひ読んでみてください。
１．エビングハウスの忘却曲線とは？
「エビングハウスの忘却曲線」という言葉を耳にしたことがある人は多いでしょう。しかし、「それが正確に何を表しているか？」と聞かれて、正しく答えられる人は意外と少ないのではないでしょうか。
これがエビングハウスの著書に示されている忘却曲線のグラフです。その方程式は、次のように表されます。
$$\displaystyle y=100\times\frac{1.84}{(\log_{10}{x})^{1.25}+1.84}$$
２．忘却曲線の「本当の意味」
このグラフを見て、「横軸が時間（分）で、縦軸が記憶量（どれくらい覚えているかの割合）」と思っている方がほとんどかもしれません。しかし、本当の縦軸は「節約率」を表しています。
節約率とは、「一度記憶したことを、もう一度覚え直す際に、どれくらいの時間を節約できたか」を示す指標です。
例えば、初めてその内容を覚えるのに10分かかったとします。その後、もう一度学習した際に3分で覚え直すことができた場合、10分 – 3分 = 7分 の時間を節約できたことになります。
初回の10分を基準とすると、
$$\displaystyle \frac{7}{10}=0.7$$
となり、「70%の時間を節約できた」という意味になります。
よくある間違い
よくある間違いとして、上のグラフの点H（180分で40％になる点）を、「100個の英単語を覚えたら、180分後には40個しか覚えていない」と解釈してしまうケースがあります。
正しくは、「覚え直す際に、初回に比べて40％の時間を節約できる」という意味なのです。
考察1：時間が経過すると節約率（縦軸）はどうなる？
さて、ここからが本題です。このグラフの「方程式」について数学的に考察してみましょう。
グラフを見ると、最初の60分間で急激に節約率が下がります。しかし、180分以降はその下がり幅がどんどん緩やかになっています。なぜ緩やかになるのでしょうか？実は、方程式の形を見ればその理由が分かります。
忘却曲線の方程式の右辺にある変数は $x$ のみで、$\log_{10}x$ という対数関数の形で含まれています。時間 $x$ が大きくなったときに、この対数がどのように振る舞うかを考えます。
$y=\log_{10}x$ のグラフは増加関数ですが、「その上がり方は次第に緩やかになる（上に凸である）」という特徴を持っています。つまり、$x$ が大きくなっても $\log_{10}x$ の値はそれほど急激には変化しなくなります。
分母にある $\log_{10}x$ の増加が緩やかになるため、全体の値（節約率）の減少幅も、時間が経過するにつれてどんどん緩やかになっていくのです。
考察2：最終的に節約率はどうなるのか？
次に、「経過時間 $x$ を限りなく大きくしていくと、節約率の値はどうなるのか？」について極限を用いて考察してみましょう。
先ほど、$y=\log_{10}x$ の増加は次第に緩やかになると述べました。しかし、対数関数には「増加は緩やかだが、ある一定の値に収束することなく正の無限大に発散する」という重要な特徴があります。
つまり、$x \to \infty$ とすると $\log_{10}x \to \infty$ となります。
これを踏まえて、方程式の極限を計算してみましょう。
$$\displaystyle \lim_{x\to\infty} \left( 100 \times \frac{1.84}{(\log_{10}x)^{1.25} + 1.84} \right) = 100 \times \frac{1.84}{\infty + 1.84} = 0$$
※厳密には分母が無限大に発散するため、全体として0に収束します。
よって、計算結果は0となります。
これは、「復習等をせずに長期間放置していると節約率が0％に近づき、再び覚えるのに初学時と全く同じ時間を要してしまう」ということを数学的に示しています。
まとめ
今回は、エビングハウスの忘却曲線を「対数関数」と「極限」という高校数学の知識を使って考察してみました。
人間の記憶のメカニズムや完全忘却といった脳科学的な側面については専門家に譲りますが、興味を持った方はぜひ探究してみてください。
今回の方程式から分かるように、世の中の複雑な現象を読み解くためには、指数関数や対数関数といった「初等関数」の性質を正しく理解することが非常に重要です。数学の基礎は、世の中の事象を単純化し、その本質を見抜くための強力なツールになるのです。
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