やっぱり面白い条件付き確率【大学入試でも頻出！？現在の結果で過去の確率が変わる】

今回は大学入試で実際に出題された条件付き確率の問題を紹介します。そこで注意ですがこの記事でも多少強引な（数学的に厳密ではない）話をしていますのでご了承ください。では早速、問題をみていきましょう。

問題

この問題を読むと、答えがまず$\frac{1}{4}$派と$\frac{10}{49}$派の２つに分かれます。最初に１枚カードを引くので、引いた時点でそのカードがハートである確率は$\frac{1}{4}$であることに対して疑いようはないと思います。そして、そのことは事実です。間違っていません。ですが、この問題の答えは$\frac{10}{49}$です。ここで、不思議に感じる人がいるのではないでしょうか。$\frac{1}{4}$派の主張は次のようなものだと思います。最初に引いた時点でハートである確率が$\frac{1}{4}$であり、しかもそのカードは机の上に置いたままにしてある。したがって、その後に机の上に置いたカードに触れもしていないのだから確率が変わるはずがないというものです。ではこの考えのどこに誤りがあるのかを解説していきたいと思います。

解説

まず、この問題が普通の確率の問題ではなく、条件付き確率であることに気が付かなければいけません。なぜならば、問題文の中に「○○のとき」というのがあるからです。つまり、この問題は後から引いたカード３枚のマークがハートだったときとなっていますので、条件付き確率の問題であることが分かります。詳しくは、「【確率が苦手な人】原因の確率の考え方」をご参照ください。したがって、条件付き確率では確率の定義の分母である全体の通り数も変わってきます。つまり５２枚のカードから１枚引いているので５２通りだとはならないのです。まずここを押さえておきましょう。そうすることによって$\frac{1}{4}$という答えにはならないことが理解しやすいと思います。では全体の通り数は何通りになるのか。これは最初の引いたカード１枚の後に３枚のカードを引いたので、その３枚を全体の枚数から引いた４９枚から引いたと考えるのである。つまり、１枚のカードを引くことと、３枚のカードを引くことを入れ替えてしまうのである。ここで重要になるのは「情報」です。最初はカード引いたけどなんのカードか分かっていない。つまり情報がないのです。したがって情報がないのは引いていないのと同じと考える。ここの議論が数学的に厳密ではない、極端なことをしていますのでご了承ください。でも、こう考えると圧倒的に解きやすくなります。また、こう考えることができるでしょう。「現在の結果によって過去の確率が変化する」ということです。しかし、納得できない人はいることは重々承知しております。では、次のような例を考えてみるとどうでしょう。

例題

これではどうでしょうか。問題と違うのは３枚ではなく１３枚というところのみです。この問題文で１３枚のカードがすべてハートということを知っている状況で最初に引いたカードがハートである確率が$\frac{1}{4}$と答える人はいないのではないでしょうか。見えているハートのカード１３枚ある時点で、伏せてあるカードがハートであることは決してないからです。つまりこの例題の答えは$0$です。どうでしょう。現在起こっていることで、過去の確率が変わるというのが実感できたのではと思います。

まとめ

今回は大学入試でも出題された有名問題を取り扱ってみました。条件付き確率の難しさそして、面白さを実感できたのではないでしょうか。ぜひ、条件付き確率をマスターして他の受験生との差を付けていってください。